La fig. 7 risolve il seguente problema.

"Sono date due circonferenze tra loro tangenti, di raggi uno doppio
dell'altro; i centri sono B e C, A è il punto di contatto.
E' anche data una retta f, passante per C, che forma un angolo di 45°
con BC.
Costruire le circonferenze tangenti a f e alle due circonferenze
date."

Nota. In realtà la costruzione che segue risolve un problema più
generale: due circonf. tra loro tangenti, di raggi qualsiasi, e una
retta comunque disposta nel piano.

Costruzione.
Nella figura le circonf. date e la retta f sono tracciate in nero con
tratto più spesso. Alcune linee di costruzione sono in tratto sottile
nero, altre in rosso (v. dopo). Le circonf. che risolvono il problema
sono in verde.

L'idea è di sfruttare un'inversione di polo A, che trasforma le due
circonf. in rette tra loro parallele, e la retta f in una circonf.
E' facile costruire le circonf. tangenti alle due rette e alla
circonf. e si sfrutta il fatto che un'inversione conserva la tangenza
e manda circonf. in circonf.

Costruiremo l'inversione in modo che B resti unito. Allora la circonf.
maggiore va nella retta h, perpend. in B ad AB, mentre la piccola va
nella parallela j a questa per E, simmetrico di A rispetto a B.
Il luogo dei centri delle circonf. tangenti ad h, j è la retta a,
mediana tra h e j.
(Tutte le rette e circonf. ottenute per inversione sono disegnate in
rosso.)

La retta g, perpendicolare a f, interseca h in F: questo è il centro
della circonf. (passante per A) trasformata di f.
Sempre con centro F, ma con raggi FA-AC, FA+AC, tracciamo due circonf.
(tratteggiate in figura). I centri delle circonf. cercate stanno su
queste due circonf. oltre che sulla retta a: sono dunque le
intersezioni L, M, N, O.
Disegnate le 4 circonf. resta solo da applicare l'inversione per
concludere la costruzione.

Nella figura è accennato solo il procedimento per la circonf. di
centro L. Siano P, Q le intersez. della circonf. con la retta AL: R, S
sono i trasformati per inversione di P, Q, e RS è il diametro della
circonf. cercata.
(Non è indicata la costruzione dei punti R, S, che si fa banalmente,
per es. applicando il primo teorema di Euclide.)

Nota finale. Si ottengono 4 circonf. e non 2, perché la costruzione
non distingue in quale semipiano debbono stare le circonf.

Problema "per i più piccini".
La trasf. della retta a è una circonf. tangente in A alle due ciconf.
date.
Questo sarà il luogo dei centri delle circonf. tangenti a quelle date?
Sicuramente no, perché tale luogo è un'ellisse, non una circonf.
Spiegare.