La figura serve per la dimostrazione che l'evolvente di una curva ha in ogni suo punto la tangente ortogonale alla congiungente col punto di contatto. E' illustrato il caso dell'evolvente di una circonferenza, ma in realtà l'ipotesi che sia una circonferenza non entra in modo essenziale, come vedremo. A e B sono due punti della curva (circonferenza) di cui stiamo tracciando l'evolvente; P, Q i corrispondenti punti dell'evolvente. Per definizione: - P sta sulla tangente in A alla circonf. - Q sta sulla tangente in B. - La lunghezza del segmento AP è auguale a quella di BQ + l'arco AB. Sia C l'intersezione delle due tangenti. Abbiamo: CP + AC = AP = BQ + arco(AB) BQ + BC = CQ. Sommando: CP + AC + BC = CQ + arco(AB). Al limite B --> A possiamo confondere la lunghezza dell'arco AB con quella della poligonale ABC. Più esattamente, la differenza tra arco e poligonale è di ordine superiore alla lunghezza dell'arco (è di terzo ordine). Ne segue CP = CQ. Dunque l'evolvente si confonde con una circonf. di centro C, e le tangenti in P, Q sono ortogonali a CP, CQ c.v.d. Corollario: quando Q --> P, B e C --> A. Ne segue che il raggio di curvatura dell'evolvente in P è AP, ossia che il cerchio osculatore ha centro in A. L'ipotesi che la curva AB sia una circonf. non è entrata: serve solo la proprietà che arco e poligonale si confondano al limite, il che è vero per qualsiasi curva che abbia curvatura finita (curva due volte differenziabile).