Soluzione del problema del punto medio con sole circonferezne (dovuta a
Maurizio Frigeni, 22-5-2018).
Questa soluzione usa solo 6 circonferenze, quindi è più semplice di
altre già note.

Ecco la dimostrazione. AB è il segmento dato, di cui si cerca il punto
medio M. Assumerò AB come unità di misura.
Le circonferenze sono numerate in ordine di costruzione.

La crf. 3 ha raggio sqrt(3).
La retta CD è l'asse di AB.
Il triangolo CDE è equilatero, e per simmetria E si trova sulla retta
AB; BE=1.
Pertanto la crf. 4 ha raggio 2.

I punti F, G sono simmetrici rispetto alla retta AB; questo assicura
che il punto M in cui le due crf. 5 e 6 s'incontrano, sta su AB.
Il punto H (che non serve per la costruzione) è opposto ad A sulla
crf. 4; pertanto AH=4 e inoltre il triangolo AFH è rettangolo.

Il punto I, anch'esso non necessario per la costruzione, è il piede
della perpendicolare da F su AH. Dal primo teorema di Euclide si ha
AF^2 = AHxAI, quindi AI = 1/4.

FI è anche l'altezza del triangolo isoscele AMF, quindi 
AM = 2xAI = 1/2, c.v.d.

Nota: nella figura sono tracciati (tratteggiati) alcuni segmenti, che
non fanno parte della soluzione ma sono utili alla dimostrazione.
Per non affollare ecessivamente la figura, non è tracciato il
triangolo CDE.